Bei mir wurde die Girokarte vor ungefähr 6 Monaten, gemeinsam mit der Kreditkarte, deaktivert und durch die Debitkarte ersetzt.
Aber ja, wenn du aktuelle noch Girokarte UND Debitkarte hast, dann müsstet du die Girokarte deaktivieren. Das kannst du Online links im Menü unter Service und dann unter Konto und Karten im letzten Menüpunkt bei "Girokarte kündigen" machen.
Wie gesagt, bei mir ersetzt die Debitkarte die Girokarte und ich hatte damit in den letzten 7 Monaten keine Probleme in Deutschland oder im Ausland (Österreich, Niederlande) zu bezahlen.
Edit: Kurz gesagt, du kannst mit der Debitkarte von der DKB überall (weltweit) bezahlen, wo Visa Kredikkarten akzeptieren sind. Es kann also schon sein, dass du in dem ein oder anderen Kiosk, Blumenladen oder bei anderen kleinen Einzelhändlern Probleme hast, weil keine Kreditkarten akzeptieren. Ist mir aber noch nie passiert.
An deinem Konto ändert sich sonst nichts. Die IBAN bleibt gleich, es bleibt das gleiche Konto, du hast nur eine andere Karte.